Przejdź do treści
Poznaj Compass

Wartość w proporcjonalności prostej — do jednostki i z proporcji

Gdy wielkości są wprost proporcjonalne i znamy jedną parę wartości, brakującą wartość liczymy przez sprowadzenie do jednostki albo z proporcji y1x1=y2x2\dfrac{y_1}{x_1} = \dfrac{y_2}{x_2}. Np. 5 kg za 20 zł to 4 zł/kg, więc 8 kg kosztuje 32 zł.

Proporcjonalność prosta · egzamin ósmoklasisty Klasa 7 → Zobacz na planecie →

Wzory w skrócie

Proporcja (x1,y1)(x_1, y_1) — znana para wartości, (x2,y2)(x_2, y_2) — para z szukaną wartością
y1x1=y2x2\dfrac{y_1}{x_1} = \dfrac{y_2}{x_2}
Szukana wartość z proporcji
y2=y1⋅x2x1y_2 = y_1 \cdot \dfrac{x_2}{x_1}

Kiedy wiem, że dwie wielkości są wprost proporcjonalne (y=k⋅xy = k \cdot x), i znam jedną parę wartości — mogę wyznaczyć dowolną brakującą wartość.

Jak obliczyć brakującą wartość — trzy sposoby

Trzy najczęstsze techniki:

  1. Sprowadzenie do jednostki: liczę, ile wypada na 1 sztukę (1 kg, 1 godzinę), a potem mnożę przez szukaną liczbę.
  2. Proporcja krzyżowa: zapisuję y1x1=y2x2\dfrac{y_1}{x_1} = \dfrac{y_2}{x_2} i wyznaczam y2=y1⋅x2x1y_2 = y_1 \cdot \dfrac{x_2}{x_1}.
  3. Zadanie odwrotne: znam wartość yy i szukam xx — dzielę yy przez współczynnik (np. cenę za sztukę).

Przykład: do jednostki czy z proporcji

  • 5 kg jabłek kosztuje 20 zł. Ile zapłacę za 8 kg?
  • Do jednostki: 1 kg → 20:5=420 : 5 = \textcolor{#d97706}{\mathbf{4}} zł; 8 kg → 8⋅4=328 \cdot 4 = \textcolor{#4f46e5}{\mathbf{32}} zł.
  • Proporcja: y8=205\dfrac{y}{8} = \dfrac{20}{5}, więc y=8⋅205=32y = 8 \cdot \dfrac{20}{5} = \textcolor{#4f46e5}{\mathbf{32}} zł.
  • Obie metody dają ten sam wynik — wybieram tę, która daje wygodniejsze liczby.

Kiedy te sposoby nie działają

Uwaga: zanim policzysz, sprawdź, czy wielkości naprawdę są wprost proporcjonalne (brak opłaty stałej, brak progu). Jeśli nie — żaden z tych schematów nie zadziała.

Przykłady krok po kroku

Każdy przykład to inny typ zadania z tego tematu: najpierw sposób, potem zadanie rozwiązane krok po kroku.

Przykład 1 Sprowadzenie do jednostki — cena za sztukę

Liczba zeszytówCena (zł)
624
11?
Cena wprost proporcjonalna do liczby zeszytów

Aby wyznaczyć wartość wielkości wprost proporcjonalnej, sprowadzam dane do jednej jednostki: dzielę znaną wartość y przez odpowiadającą jej liczbę x, otrzymując wartość przypadającą na 1 jednostkę (czyli współczynnik k). Następnie mnożę k przez liczbę jednostek, dla której szukam wyniku.

Zadanie 6 jednakowych zeszytów kosztuje 24 zł. Ile zapłacę za 11 takich zeszytów?

  1. Cena y jest wprost proporcjonalna do liczby zeszytów x — zeszyty są jednakowe i nie ma żadnej opłaty stałej.
  2. Liczę cenę jednego zeszytu (sprowadzam do jednostki): k = 24 : 6 = 4 zł za zeszyt.
  3. Mnożę cenę jednego zeszytu przez szukaną liczbę: 11 · 4 = 44.
  4. Sprawdzam jednostki: cena za sztukę × liczba sztuk = łączna cena, czyli zł.
  5. Odpowiedź: 11 zeszytów kosztuje 44 zł.

Odpowiedź: 44 zł

Przykład 2 Obliczanie z proporcji (na krzyż)

Trasa (km)Benzyna (l)
1209
200?
Zużycie wprost proporcjonalne do trasy

Gdy liczby nie są wygodne do dzielenia (np. cena za 1 sztukę nie jest liczbą całkowitą), zapisuję proporcję y1 : x1 = y2 : x2 — czyli y1/x1 = y2/x2. Stąd y2 = y1 · x2 / x1. Mnożenie wykonuję najpierw, dzielenie na końcu (albo skracam ułamek przed mnożeniem).

Zadanie Samochód spalił 9 litrów benzyny na trasie 120 km. Ile litrów zużyje na trasie 200 km przy tym samym zużyciu?

  1. Zużycie y jest wprost proporcjonalne do długości trasy x (stałe spalanie).
  2. Znana para: x1 = 120 km, y1 = 9 l. Szukam y2 dla x2 = 200 km.
  3. Zapisuję proporcję: y2 / 200 = 9 / 120.
  4. Wyznaczam y2: y2 = 9 · 200 / 120 = 1800 / 120 = 15.
  5. Sprawdzam: 9 l na 120 km to 0,075 l/km; 200 · 0,075 = 15 l. Zgadza się.
  6. Odpowiedź: na 200 km samochód zużyje 15 litrów benzyny.

Odpowiedź: 15 litrów

Przykład 3 Zadanie odwrotne — ile jednostek za daną kwotę

Masa (kg)Cena (zł)
535
?84
Szukamy masy dla danej ceny

Gdy znam łączną wartość y (np. zapłaconą kwotę) i wartość przypadającą na jednostkę (cenę za sztukę, drogę na godzinę), wyznaczam liczbę jednostek x dzieląc y przez tę wartość: x = y / k. Jeśli k nie jest podane wprost, najpierw obliczam je ze znanej pary.

Zadanie Za 5 kg pomarańczy zapłacono 35 zł. Ile kilogramów pomarańczy można kupić za 84 zł?

  1. Cena y jest wprost proporcjonalna do masy x.
  2. Liczę cenę za 1 kg: k = 35 : 5 = 7 zł/kg.
  3. Szukam masy x, dla której y = 84 zł. Mam y = k · x, więc x = y : k.
  4. Podstawiam: x = 84 : 7 = 12.
  5. Sprawdzam: 12 kg · 7 zł/kg = 84 zł — zgadza się.
  6. Odpowiedź: za 84 zł można kupić 12 kg pomarańczy.

Odpowiedź: 12 kg

Najczęstsze błędy

  • Liczenie proporcją, gdy wielkości nie są wprost proporcjonalne (jest opłata stała albo próg). Najpierw sprawdzamy proporcjonalność — inaczej żaden z tych schematów nie zadziała.
  • Dzielenie na początku, gdy wychodzi niewygodny ułamek. Z proporcji najpierw mnożymy, a dzielimy na końcu: 9⋅200:120=1800:120=159 \cdot 200 : 120 = 1800 : 120 = 15.

Sprawdź się na zadaniach

Rozwiąż samodzielnie, a potem sprawdź odpowiedź i rozwiązanie krok po kroku.

Zadanie 1

8 jednakowych długopisów kosztuje 24 zł. Ile zapłacisz za 13 takich długopisów?

Zadanie 2

Pociąg pokonuje 240 km w 3 godziny. Ile kilometrów przejedzie w 5 godzin, jadąc z tą samą prędkością?

Zadanie 3

3 kg cukierków kosztuje 18 zł. Ile kilogramów cukierków można kupić za 60 zł?

Zadanie egzaminacyjne arkusz CKE · zadanie 9

Rowerzysta pokonał odcinek drogi o długości 100 m100\text{ m} z prędkością 5ms5 \frac{m}{s}.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Rowerzysta pokonał ten odcinek drogi w czasie

Zadania z arkuszy CKE na ten temat

Wszystkie arkusze →

Prawdziwe zadania egzaminacyjne z tego tematu — z odpowiedzią i rozwiązaniem krok po kroku.

Sprawdź się na całym egzaminie ósmoklasisty Darmowy test online: po jednym zadaniu z arkuszy CKE z każdego działu, wynik i rozwiązania od razu, bez logowania.

Filmy, które pomogą

Krótkie wytłumaczenia z różnych kanałów.

Proporcjonalność prosta #1 [ Funkcja liniowa ] Pi-stacja
Proporcjonalność prosta — zadania tekstowe (powtórka E8) Matklub
Proporcjonalność prosta — powtórzenie przed E8 Aga(Ma)ta — Matma z Agatą

Najczęstsze pytania

Jak obliczyć wartość w proporcjonalności prostej?

Najprościej sprowadzić do jednostki: dzielimy znaną wartość przez liczbę jednostek, a wynik mnożymy przez szukaną liczbę. Np. 6 zeszytów za 24 zł to 4 zł za zeszyt, więc 11 zeszytów kosztuje 44 zł.

Jak rozwiązać zadanie z proporcji?

Zapisujemy y1x1=y2x2\dfrac{y_1}{x_1} = \dfrac{y_2}{x_2} i wyznaczamy y2=y1⋅x2x1y_2 = y_1 \cdot \dfrac{x_2}{x_1}. Np. 9 l na 120 km daje na 200 km 9⋅200:120=159 \cdot 200 : 120 = 15 l.

Jak obliczyć, ile można kupić za daną kwotę?

Dzielimy kwotę przez cenę za jednostkę: x=y:kx = y : k. Przy 7 zł/kg za 84 zł kupimy 84:7=1284 : 7 = 12 kg.

Którą metodę wybrać: do jednostki czy proporcję?

Obie dają ten sam wynik — wybieramy tę, która daje wygodniejsze liczby. Proporcja przydaje się, gdy wartość na jedną sztukę nie wychodzi liczbą całkowitą.

Aktualizacja:

Powiązane tematy

Wszystkie tematy →
Podział proporcjonalny Proporcjonalność prosta Wielkości wprost proporcjonalne Proporcjonalność prosta Długość odcinka we współrzędnych Oś liczbowa. Układ współrzędnych na płaszczyźnie Dodawanie i odejmowanie sum algebraicznych Przekształcanie wyrażeń algebraicznych. Sumy algebraiczne i działania na nich Liczba z danego procentu Obliczenia procentowe Mnożenie i dzielenie pierwiastków Pierwiastki Mnożenie i dzielenie potęg Potęgi o podstawach wymiernych Mnożenie potęg różnych podstaw Potęgi o podstawach wymiernych

Sprawdź, co już umiesz — zrób darmową diagnozę

Diagnoza jest bezpłatna, a na start wystarczą imię i klasa — bez adresu e-mail. To test w Compass — platformie diagnostyczno-adaptacyjnej z AI (35 pytań, zwykle 15–30 minut), który pokaże, które tematy egzaminu ósmoklasisty już umiesz, a które trzeba powtórzyć. E-mail podajesz po teście, jeśli chcesz zapisać wynik i dostać lekcje i zadania dobrane do niego.

Zrób darmową diagnozę