Wielkości wprost proporcjonalne — proporcjonalność prosta i współczynnik k

Q: Co to jest współczynnik proporcjonalności?

Stały iloraz y: x wielkości wprost proporcjonalnych. Gdy 1 kg ziemniaków kosztuje 3 zł, k = 3 zł/kg, a cena to y = 3 · x.

Q: Jak sprawdzić, czy wielkości są wprost proporcjonalne?

Liczymy iloraz y: x dla każdej pary wartości. Jeśli wszystkie ilorazy są równe, wielkości są wprost proporcjonalne; jeśli choć jeden się różni — nie są.

Dwie wielkości są wprost proporcjonalne, gdy jedna rośnie $n$ razy, a druga też rośnie $n$ razy. Wtedy iloraz $y : x$ jest stały — to współczynnik proporcjonalności $k$ , więc $y = k \cdot x$ .

Proporcjonalność prosta · egzamin ósmoklasisty Klasa 7 → Zobacz na planecie →

Wzory w skrócie

Proporcjonalność prosta $k$ — współczynnik proporcjonalności, czyli stały iloraz $y : x$: $y = k \cdot x$

Co to są wielkości wprost proporcjonalne

Wielkości wprost proporcjonalne to dwie wielkości zmieniające się tak, że gdy jedna rośnie n razy, druga też rośnie n razy (a gdy jedna maleje n razy — druga też maleje n razy).

Współczynnik proporcjonalności — jak sprawdzić proporcjonalność

Najprostszy test: stosunek $y : x$ jest stały dla każdej pary wartości. Tę stałą liczbę nazywamy współczynnikiem proporcjonalności $k$ , więc $y = k \cdot x$ .

Jeśli 1 kg jabłek kosztuje 4 zł, to 2 kg kosztują 8 zł, 3 kg — 12 zł, 5 kg — 20 zł.
Stosunek $\dfrac{\text{cena}}{\text{masa}} = \dfrac{4}{1} = \dfrac{8}{2} = \dfrac{12}{3} = \dfrac{20}{5} = 4$ — zawsze ta sama liczba.
Współczynnik $k = \textcolor{#4f46e5}{\mathbf{4}}$ zł/kg — cena $\textcolor{#0284c7}{y}$ i masa $\textcolor{#d97706}{x}$ są wprost proporcjonalne, bo $y = 4 \cdot x$ .

Kiedy to nie jest proporcjonalność prosta

Uwaga: nie każde „im więcej, tym więcej" to proporcjonalność. Jeśli taksówka liczy 6 zł za start + 3 zł za każdy kilometr, to opłata rośnie razem z trasą, ale iloraz nie jest stały (1 km → 9 zł, 2 km → 12 zł; 9 ≠ 12 : 2 = 6) — to nie jest proporcjonalność prosta.

Przykłady krok po kroku

Każdy przykład to inny typ zadania z tego tematu: najpierw sposób, potem zadanie rozwiązane krok po kroku.

Przykład 1 Współczynnik proporcjonalności z jednej pary wartości

Dwie wielkości x i y są wprost proporcjonalne, gdy y = k · x dla pewnej stałej k (k ≠ 0). Liczbę k nazywamy współczynnikiem proporcjonalności — to wartość ilorazu y : x, który jest taki sam dla każdej pary wartości. Mając jedną parę (x, y), można wyznaczyć k jako y : x.

Zadanie 1 kg ziemniaków kosztuje 3 zł. Cena y jest wprost proporcjonalna do masy x. Wyznacz współczynnik proporcjonalności k oraz cenę 7 kg ziemniaków.

Znana para wartości: x = 1 kg, y = 3 zł.
Współczynnik proporcjonalności to iloraz y : x. Liczę: k = 3 : 1 = 3.
Zatem wzór wiążący wielkości to y = 3 · x (cena = 3 · masa).
Dla x = 7 kg podstawiam: y = 3 · 7 = 21.
Sprawdzam zgodność jednostek: k = 3 zł/kg, x w kg, więc y wychodzi w zł.
Odpowiedź: k = 3 zł/kg, a 7 kg ziemniaków kosztuje 21 zł.

Odpowiedź: k = 3 zł/kg; cena 7 kg = 21 zł

Przykład 2 Sprawdzanie proporcjonalności z tabeli

Aby sprawdzić, czy dwie wielkości w tabeli są wprost proporcjonalne, liczę iloraz y : x dla każdej pary wartości. Jeśli wszystkie ilorazy są równe — wielkości są wprost proporcjonalne, a ten wspólny iloraz to współczynnik k. Jeśli choć jeden iloraz różni się od pozostałych — nie są.

Zadanie W tabeli dane są pary (x, y): (2, 10), (3, 15), (5, 25), (8, 40). Sprawdź, czy y jest wprost proporcjonalne do x.

Dla każdej pary liczę iloraz y : x.
Para (2, 10): 10 : 2 = 5.
Para (3, 15): 15 : 3 = 5.
Para (5, 25): 25 : 5 = 5.
Para (8, 40): 40 : 8 = 5.
Wszystkie ilorazy są równe 5 — wielkości są wprost proporcjonalne, a współczynnik proporcjonalności wynosi k = 5.

Odpowiedź: Tak, są wprost proporcjonalne; k = 5.

Przykład 3 Czy wielkości są wprost proporcjonalne — sytuacje z życia

W zadaniu tekstowym wielkości są wprost proporcjonalne, gdy podwajając jedną podwajamy drugą, a trzykrotny wzrost jednej daje trzykrotny wzrost drugiej (bez żadnej opłaty stałej, ulgi czy progu). Test: czy zerowa wartość jednej wielkości daje zero drugiej, i czy stosunek jest taki sam dla różnych przykładów.

Zadanie Czy następujące wielkości są wprost proporcjonalne? a) liczba bochenków chleba i ich łączna cena (cena jednego bochenka jest stała); b) wiek dziecka i jego wzrost; c) opłata za parking, gdzie pierwsza godzina kosztuje 6 zł, a każda następna 4 zł, i liczba godzin postoju.

a) Cena dwóch bochenków to dwa razy cena jednego, trzech — trzy razy, itd. Iloraz cena : liczba bochenków jest stały i równy cenie jednego. Są wprost proporcjonalne.
b) Dziecko w wieku 4 lat nie jest dwa razy niższe od ośmiolatka, a noworodek nie ma wzrostu 0 cm. Stosunek wzrost : wiek nie jest stały — nie są proporcjonalne.
c) Sprawdzam: 1 h → 6 zł, 2 h → 6 + 4 = 10 zł, 3 h → 14 zł. Ilorazy: 6 : 1 = 6, 10 : 2 = 5, 14 : 3 ≈ 4,67. Nie są równe, więc opłata i czas nie są wprost proporcjonalne.
Wniosek: tylko (a) opisuje wielkości wprost proporcjonalne — bo cena jest po prostu krotnością ceny jednostkowej.

Odpowiedź: a) Tak; b) Nie; c) Nie.

Najczęstsze błędy

Uznanie każdego „im więcej, tym więcej” za proporcjonalność. Taksówka za 6 zł startu i 3 zł za km: 1 km kosztuje 9 zł, 2 km — 12 zł, iloraz nie jest stały, więc to nie jest proporcjonalność prosta.
Sprawdzenie ilorazu tylko dla jednej pary z tabeli. Liczymy $y : x$ dla każdej pary — jeśli choć jeden iloraz się różni, wielkości nie są wprost proporcjonalne.

Sprawdź się na zadaniach

Rozwiąż samodzielnie, a potem sprawdź odpowiedź i rozwiązanie krok po kroku.

Zadanie 1

Liczba litrów benzyny x i jej koszt y są wprost proporcjonalne. 4 litry kosztują 28 zł. Ile wynosi współczynnik proporcjonalności k (cena za litr)?

Zadanie 2

W tabeli zapisano pary (x, y): (2, 14), (3, 21), (5, 35), (7, 49). Czy y jest wprost proporcjonalne do x, a jeśli tak, ile wynosi współczynnik k?

Zadanie 3

W której z poniższych sytuacji wielkości są wprost proporcjonalne?

Filmy, które pomogą

Krótkie wytłumaczenia z różnych kanałów.

Proporcja prosta #2 [ Proporcje ] Pi-stacja

Wielkości wprost proporcjonalne — życiowe zadania i przykłady | Klasa 7 | Klasa 8 | E8 E8 i Matura z matmy

Wielkości wprost proporcjonalne i odwrotnie proporcjonalne MATMAG

Najczęstsze pytania

Co to są wielkości wprost proporcjonalne?

Dwie wielkości, które zmieniają się tak samo: gdy jedna rośnie (lub maleje) $n$ razy, druga też rośnie (maleje) $n$ razy. Np. cena jabłek i ich masa przy stałej cenie za kilogram.

Co to jest współczynnik proporcjonalności?

Stały iloraz $y : x$ wielkości wprost proporcjonalnych. Gdy 1 kg ziemniaków kosztuje 3 zł, $k = 3$ zł/kg, a cena to $y = 3 \cdot x$ .

Jak sprawdzić, czy wielkości są wprost proporcjonalne?

Liczymy iloraz $y : x$ dla każdej pary wartości. Jeśli wszystkie ilorazy są równe, wielkości są wprost proporcjonalne; jeśli choć jeden się różni — nie są.

Czy opłata za taksówkę jest wprost proporcjonalna do długości trasy?

Nie, gdy jest opłata za start. Przy 6 zł za start i 3 zł za km: 1 km kosztuje 9 zł, a 2 km — 12 zł, czyli nie dwa razy więcej.

Aktualizacja: 9 października 2026

Powiązane tematy

Wszystkie tematy →

Podział proporcjonalny Proporcjonalność prosta Wartość w proporcjonalności prostej Proporcjonalność prosta Długość odcinka we współrzędnych Oś liczbowa. Układ współrzędnych na płaszczyźnie Dodawanie i odejmowanie sum algebraicznych Przekształcanie wyrażeń algebraicznych. Sumy algebraiczne i działania na nich Liczba z danego procentu Obliczenia procentowe Mnożenie i dzielenie pierwiastków Pierwiastki Mnożenie i dzielenie potęg Potęgi o podstawach wymiernych Mnożenie potęg różnych podstaw Potęgi o podstawach wymiernych

Sprawdź, co już umiesz — zrób darmową diagnozę

Diagnoza jest bezpłatna, a na start wystarczą imię i klasa — bez adresu e-mail. To test w Compass — platformie diagnostyczno-adaptacyjnej z AI (35 pytań, zwykle 15–30 minut), który pokaże, które tematy egzaminu ósmoklasisty już umiesz, a które trzeba powtórzyć. E-mail podajesz po teście, jeśli chcesz zapisać wynik i dostać lekcje i zadania dobrane do niego.

Zrób darmową diagnozę