Przejdź do treści
Poznaj Compass

Działania na liczbach całkowitych — jak liczyć z liczbami ujemnymi

Przy działaniach na liczbach całkowitych najpierw ustalamy znak wyniku, potem liczymy wartość. Dodawanie i odejmowanie to zyski i długi: −4+7=3-4 + 7 = 3, 5−8=−35 - 8 = -3, a przy mnożeniu dwa minusy dają plus: (−3)⋅(−4)=12(-3) \cdot (-4) = 12.

Liczby całkowite · egzamin ósmoklasisty Klasa 5 → Zobacz na planecie →

−8−7−6−5−4−3−2−1012345678−43

Liczby całkowite to liczby naturalne razem z liczbami ujemnymi: …,−3,−2,−1,0,1,2,3,…\dots, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, \dots

Działania na liczbach całkowitych — zyski i długi

Każde działanie na liczbach całkowitych mogę rozpisać myśląc o nich jak o zyskach (+) i długach (−) albo jako ruchach na osi liczbowej: + w prawo, − w lewo.

  • −4+7=3\textcolor{#0284c7}{\mathbf{-4}} + \textcolor{#059669}{\mathbf{7}} = \textcolor{#d97706}{\mathbf{3}} — mam dług 4, dostaję 7, zostaje mi 3.
  • 5−8=−3\textcolor{#0284c7}{\mathbf{5}} - \textcolor{#059669}{\mathbf{8}} = \textcolor{#e11d48}{\mathbf{-3}} — mam 5, oddaję 8, jestem 3 pod kreską.
  • (−3)⋅(−4)=12\textcolor{#0284c7}{\mathbf{(-3)}} \cdot \textcolor{#059669}{\mathbf{(-4)}} = \textcolor{#d97706}{\mathbf{12}} — dwa minusy dają plus.

Najpierw znak, potem wartość

Klucz: zwracaj uwagę osobno na znak wyniku i osobno na wartość (liczba bez znaku). Najpierw decyduję, jaki będzie znak, potem liczę wartość.

Przykłady krok po kroku

Każdy przykład to inny typ zadania z tego tematu: najpierw sposób, potem zadanie rozwiązane krok po kroku.

Przykład 1 Dodawanie liczb o tych samych znakach

−152start−13

Gdy dodaję dwie liczby o tym samym znaku, dodaję ich wartości bezwzględne, a do wyniku przepisuję wspólny znak. Dwa zyski dają większy zysk, dwa długi dają większy dług. Na osi: dwa razy idę w tę samą stronę.

Zadanie Oblicz: (−8) + (−5).

  1. Obie liczby mają znak minus — wynik też będzie ujemny.
  2. Dodaję wartości: 8 + 5 = 13.
  3. Przepisuję wspólny znak: wynik to −13.
  4. Sprawdzenie na osi: z −8 cofam się o 5 — trafiam w −13.

Odpowiedź: (−8) + (−5) = −13.

Przykład 2 Dodawanie liczb o różnych znakach

−128start−4

Gdy dodaję liczby o różnych znakach, odejmuję wartości (większa minus mniejsza), a wynik dostaje znak tej liczby, której wartość była większa. Zysk plus dług — wygrywa większe z dwojga. Jeśli wartości są równe, wynik to 0 (liczby przeciwne).

Zadanie Oblicz: 6 + (−10).

  1. Znaki różne — odejmuję wartości: 10 − 6 = 4.
  2. Większą wartość ma −10, więc wynik jest ujemny.
  3. Wynik: −4.
  4. Sprawdzenie: zysk 6 i dług 10 — zostaje dług 4.

Odpowiedź: 6 + (−10) = −4.

Przykład 3 Odejmowanie liczby ujemnej — dwa minusy dają plus

−108start5

Odejmowanie liczby zamieniam na dodawanie liczby do niej przeciwnej: a − b = a + (−b). Dwa znaki minus obok siebie dają plus: a − (−b) = a + b. Po zamianie korzystam z reguł dodawania z poprzednich kroków.

Zadanie Oblicz: (−7) − (−12).

  1. Zamieniam − (−12) na + 12: (−7) + 12.
  2. Znaki różne — odejmuję wartości: 12 − 7 = 5.
  3. Większą wartość ma +12, więc wynik jest dodatni.
  4. Wynik: 5.

Odpowiedź: (−7) − (−12) = 5.

Przykład 4 Mnożenie i dzielenie liczb ujemnych — reguła znaków

Najpierw ustalam znak wyniku, potem liczę wartość bezwzględną iloczynu lub ilorazu. Reguła znaków: plus razy plus = plus, minus razy minus = plus, plus razy minus = minus, minus razy plus = minus. To samo dla dzielenia. Skrót: ta sama liczba minusów parzysta → plus, nieparzysta → minus.

Zadanie Oblicz: (−6) · (−9) oraz (−48) : 6.

  1. (−6) · (−9): dwa minusy dają plus.
  2. Wartość: 6 · 9 = 54. Wynik: 54.
  3. (−48) : 6: znaki różne, więc wynik ujemny.
  4. Wartość: 48 : 6 = 8. Wynik: −8.

Odpowiedź: (−6) · (−9) = 54; (−48) : 6 = −8.

Najczęstsze błędy

  • Wynik ze znakiem pierwszej liczby przy dodawaniu liczb o różnych znakach. Wynik dostaje znak liczby o większej wartości: (−6)+10=4(-6) + 10 = 4, ale 6+(−10)=−46 + (-10) = -4.
  • Dodatni wynik dodawania dwóch liczb ujemnych. Dwa długi dają większy dług: (−3)+(−4)=−7(-3) + (-4) = -7 — dodajemy wartości i zostawiamy minus.
  • Odejmowanie liczby ujemnej bez zmiany znaku. Dwa minusy obok siebie dają plus: 3−(−5)=3+5=83 - (-5) = 3 + 5 = 8.
  • Ujemny wynik mnożenia dwóch liczb ujemnych. Minus razy minus daje plus: (−2)⋅(−7)=14(-2) \cdot (-7) = 14.

Sprawdź się na zadaniach

Rozwiąż samodzielnie, a potem sprawdź odpowiedź i rozwiązanie krok po kroku.

Zadanie 1

Oblicz: (−9) + (−6).

Zadanie 2

Oblicz: (−13) + 8.

Zadanie 3

Oblicz: 5 − (−9).

Zadanie 4

Oblicz: (−7) · (−8).

Zadanie egzaminacyjne arkusz CKE · zadanie 9

Na osi liczbowej zaznaczono punkty PP, RR i SS oraz podano współrzędne punktów PP i RR. Odcinek PSPS jest podzielony na 88 równych części (zobacz rysunek poniżej).

Rysunek do zadania CKE 9

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Współrzędna punktu SS jest równa

Zadania z arkuszy CKE na ten temat

Wszystkie arkusze →

Prawdziwe zadania egzaminacyjne z tego tematu — z odpowiedzią i rozwiązaniem krok po kroku.

Sprawdź się na całym egzaminie ósmoklasisty Darmowy test online: po jednym zadaniu z arkuszy CKE z każdego działu, wynik i rozwiązania od razu, bez logowania.

Filmy, które pomogą

Krótkie wytłumaczenia z różnych kanałów.

Dodawanie liczb całkowitych — wprowadzenie Pi-stacja
Dodawanie i odejmowanie liczb całkowitych MATMAG
Działania na liczbach całkowitych (dodatnich i ujemnych) Matematyczna_pl

Najczęstsze pytania

Jak dodawać liczby ujemne?

Dwie liczby ujemne dodajemy jak dwa długi: dodajemy wartości i zostawiamy minus, np. (−3)+(−4)=−7(-3) + (-4) = -7. Przy różnych znakach odejmujemy wartości, a wynik ma znak liczby o większej wartości: −4+7=3-4 + 7 = 3.

Ile to jest minus razy minus?

Plus: iloczyn dwóch liczb ujemnych jest dodatni, np. (−3)⋅(−4)=12(-3) \cdot (-4) = 12. Plus razy minus daje minus. Tak samo jest przy dzieleniu: (−12):3=−4(-12) : 3 = -4.

Jak odjąć liczbę ujemną?

Zamieniamy odejmowanie na dodawanie liczby przeciwnej — dwa minusy obok siebie dają plus: 2−(−6)=2+6=82 - (-6) = 2 + 6 = 8.

Jak ustalić znak wyniku przy mnożeniu kilku liczb?

Liczymy minusy: parzysta liczba minusów daje wynik dodatni, nieparzysta — ujemny. Wartość liczymy osobno, jak dla liczb bez znaków.

Aktualizacja:

Powiązane tematy

Wszystkie tematy →
Oś liczbowa całkowitych Liczby całkowite Porównywanie liczb całkowitych Liczby całkowite Zastosowania liczb ujemnych Liczby całkowite Wartość bezwzględna Liczby całkowite Jednostki masy Obliczenia praktyczne Jednostki objętości i pojemności Obliczenia w geometrii Kąty wierzchołkowe Własności figur geometrycznych na płaszczyźnie Kąty wierzchołkowe i przyległe Kąty

Sprawdź, co już umiesz — zrób darmową diagnozę

Diagnoza jest bezpłatna, a na start wystarczą imię i klasa — bez adresu e-mail. To test w Compass — platformie diagnostyczno-adaptacyjnej z AI (35 pytań, zwykle 15–30 minut), który pokaże, które tematy egzaminu ósmoklasisty już umiesz, a które trzeba powtórzyć. E-mail podajesz po teście, jeśli chcesz zapisać wynik i dostać lekcje i zadania dobrane do niego.

Zrób darmową diagnozę