Rozwinięcie dziesiętne ułamka — skończone i nieskończone okresowe

Rozwinięcie dziesiętne ułamka zwykłego otrzymujemy, dzieląc licznik przez mianownik, np. $\frac{3}{8} = 0{,}375$ . Gdy mianownik skróconego ułamka ma czynnik inny niż 2 i 5, rozwinięcie jest nieskończone okresowe: $\frac{1}{3} = 0{,}(3)$ .

Ułamki zwykłe i dziesiętne · egzamin ósmoklasisty Klasa 6 → Zobacz na planecie →

Co to jest rozwinięcie dziesiętne ułamka

Rozwinięcie dziesiętne ułamka zwykłego otrzymujemy, dzieląc licznik przez mianownik. Gdy dzielenie nigdy nie kończy się resztą $0$ , cyfry w wyniku zaczynają się powtarzać — to rozwinięcie nieskończone okresowe.

Rozwinięcie skończone czy nieskończone okresowe

Czy rozwinięcie będzie skończone, poznasz po mianowniku skróconego ułamka:

mianownik to iloczyn samych dwójek i piątek → rozwinięcie skończone, np. $\frac{3}{8}$ , bo $8 = 2\cdot2\cdot2$ ,
mianownik ma inny czynnik, np. $\textcolor{#e11d48}{3}$ lub $\textcolor{#e11d48}{7}$ → rozwinięcie nieskończone okresowe, np. $\frac{5}{12}$ , bo $12 = 2\cdot2\cdot\textcolor{#e11d48}{3}$ .

Jak zapisać okres ułamka

Powtarzającą się grupę cyfr nazywamy okresem i zapisujemy ją w nawiasie: $\frac{1}{3} = 0{,}(3)$ , $\frac{5}{6} = 0{,}8(3)$ .

Przykłady krok po kroku

Każdy przykład to inny typ zadania z tego tematu: najpierw sposób, potem zadanie rozwiązane krok po kroku.

Przykład 1 Rozwinięcie skończone czy okresowe — rozkład mianownika

Najpierw skracam ułamek do najprostszej postaci. Potem rozkładam mianownik na czynniki. Jeśli w rozkładzie są tylko dwójki i piątki — rozwinięcie jest skończone. Jeśli pojawia się inny czynnik, na przykład 3, 7 lub 9 — rozwinięcie jest nieskończone okresowe.

Zadanie Sprawdź, czy ułamek 7/12 ma rozwinięcie dziesiętne skończone, czy nieskończone okresowe.

Ułamka 7/12 nie da się skrócić — 7 jest liczbą pierwszą i nie dzieli 12.
Rozkładam mianownik na czynniki: 12 = 2 × 2 × 3.
W rozkładzie jest czynnik 3 — to nie jest dwójka ani piątka.
Dlatego ułamek 7/12 ma rozwinięcie dziesiętne nieskończone okresowe.

Odpowiedź: Ułamek 7/12 ma rozwinięcie dziesiętne nieskończone okresowe.

Przykład 2 Zamiana ułamka zwykłego na dziesiętny przez dzielenie

Rozwinięcie dziesiętne otrzymuję, dzieląc pisemnie licznik przez mianownik. Gdy licznik jest mniejszy od mianownika, w wyniku zapisuję 0 i przecinek, a do reszty dopisuję zero. Dopisywanie zer powtarzam. Gdy reszta zaczyna się powtarzać, te same cyfry w wyniku też będą się powtarzać.

Zadanie Zamień ułamek 2/3 na rozwinięcie dziesiętne.

Dzielę 2 przez 3. Licznik 2 jest mniejszy od 3, więc w wyniku zapisuję 0 i przecinek.
Do reszty 2 dopisuję zero — mam 20. Liczę: 20 : 3 = 6, bo 6 × 3 = 18, reszta 2.
Reszta znów wynosi 2 — taka sama jak poprzednio. Dzielenie będzie się powtarzać.
W wyniku cyfra 6 powtarza się bez końca: 2/3 = 0,666…

Odpowiedź: 2/3 = 0,666…

Przykład 3 Zapis okresu w nawiasie

Powtarzającą się grupę cyfr w rozwinięciu nazywam okresem. Zamiast pisać wielokropek, okres zapisuję raz i biorę w nawias. Do okresu należą tylko te cyfry, które powtarzają się od pewnego miejsca — cyfry stojące przed nimi zostawiam poza nawiasem.

Zadanie Zapisz rozwinięcie 0,8333… za pomocą okresu.

Patrzę, które cyfry po przecinku się powtarzają: cyfra 3 powtarza się bez końca.
Cyfra 8 stoi tylko raz, zaraz po przecinku — nie należy do okresu.
Okresem jest sama cyfra 3 — biorę ją w nawias.
Zapis z okresem: 0,8333… = 0,8(3).

Odpowiedź: 0,8333… = 0,8(3)

Najczęstsze błędy

Ocenianie mianownika przed skróceniem ułamka. Najpierw skracamy: $\frac{3}{12} = \frac{1}{4}$ ma rozwinięcie skończone ( $0{,}25$ ), choć 12 dzieli się przez 3.
Wpisywanie do okresu cyfr, które się nie powtarzają: $0{,}8333\ldots = 0{,}8(3)$ , a nie $0{,}(83)$ — cyfra 8 stoi przed okresem.

Sprawdź się na zadaniach

Rozwiąż samodzielnie, a potem sprawdź odpowiedź i rozwiązanie krok po kroku.

Zadanie 1

Który z podanych ułamków ma rozwinięcie dziesiętne nieskończone okresowe?

Zadanie 2

Wykonaj dzielenie 1 : 3. Jakie rozwinięcie dziesiętne otrzymasz?

Zadanie 3

Zapisz rozwinięcie 0,2666… za pomocą okresu.

Filmy, które pomogą

Krótkie wytłumaczenia z różnych kanałów.

Rozwinięcia dziesiętne ułamków zwykłych Pi-stacja

Rozwinięcia dziesiętne ułamków zwykłych matspot

Rozwinięcia dziesiętne nieskończone — liczby wymierne FundacjaMaciejko

Najczęstsze pytania

Jak zamienić ułamek zwykły na rozwinięcie dziesiętne?

Dzielimy licznik przez mianownik, np. pisemnie. Gdy licznik jest mniejszy od mianownika, zapisujemy 0 i przecinek, a do reszty dopisujemy zera: $\frac{3}{4} = 3 : 4 = 0{,}75$ .

Kiedy rozwinięcie dziesiętne jest skończone?

Gdy mianownik skróconego ułamka jest iloczynem samych dwójek i piątek, np. $\frac{3}{8}$ , bo $8 = 2 \cdot 2 \cdot 2$ . Jeśli w rozkładzie mianownika jest inny czynnik, np. 3 albo 7, rozwinięcie jest nieskończone okresowe.

Co to jest okres ułamka dziesiętnego?

To grupa cyfr, która powtarza się w rozwinięciu bez końca. Zapisujemy ją raz, w nawiasie: $\frac{1}{3} = 0{,}(3)$ , $\frac{5}{6} = 0{,}8(3)$ .

Jak sprawdzić, czy ułamek ma rozwinięcie okresowe?

Skracamy ułamek i rozkładamy mianownik na czynniki pierwsze. Na przykład w $\frac{5}{12}$ mianownik $12 = 2 \cdot 2 \cdot 3$ ma czynnik 3, więc rozwinięcie jest nieskończone okresowe.

Aktualizacja: 9 października 2026

Powiązane tematy

Wszystkie tematy →

Powiększanie i pomniejszanie liczby Ułamki zwykłe i dziesiętne Wyznaczanie całości z ułamka Ułamki zwykłe i dziesiętne Zaokrąglanie ułamków dziesiętnych Ułamki zwykłe i dziesiętne Dwumian na dziesiętne Ułamki zwykłe i dziesiętne Dziesiętne na zwykłe Ułamki zwykłe i dziesiętne Porównywanie ułamków Ułamki zwykłe i dziesiętne Skracanie i rozszerzanie ułamków Ułamki zwykłe i dziesiętne Ułamek jako część całości Ułamki zwykłe i dziesiętne

Sprawdź, co już umiesz — zrób darmową diagnozę

Diagnoza jest bezpłatna, a na start wystarczą imię i klasa — bez adresu e-mail. To test w Compass — platformie diagnostyczno-adaptacyjnej z AI (35 pytań, zwykle 15–30 minut), który pokaże, które tematy egzaminu ósmoklasisty już umiesz, a które trzeba powtórzyć. E-mail podajesz po teście, jeśli chcesz zapisać wynik i dostać lekcje i zadania dobrane do niego.

Zrób darmową diagnozę