Rozkład liczby na czynniki pierwsze — metoda słupkowa i przykłady

Rozkład na czynniki pierwsze to zapis liczby jako iloczynu liczb pierwszych, np. $84 = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 7 = 2^2 \cdot 3 \cdot 7$ . Liczbę dzielimy po kolei przez najmniejsze liczby pierwsze, które ją dzielą, aż zostanie 1.

Działania na liczbach naturalnych · egzamin ósmoklasisty Klasa 5 → Zobacz na planecie →

842422213771

84 = 2 × 2 × 3 × 7

Co to jest rozkład na czynniki pierwsze

Rozkład na czynniki pierwsze to zapis liczby jako iloczynu liczb pierwszych. Każda liczba złożona ma dokładnie jeden taki rozkład (z dokładnością do kolejności).

Jak rozłożyć liczbę na czynniki — metoda słupkowa

Metoda słupkowa dla $\textcolor{#0284c7}{\mathbf{84}}$ :

$84 : \textcolor{#059669}{\mathbf{2}} = 42$
$42 : \textcolor{#059669}{\mathbf{2}} = 21$
$21 : \textcolor{#d97706}{\mathbf{3}} = 7$
$7 : \textcolor{#e11d48}{\mathbf{7}} = 1$

Wynik rozkładu i zapis z potęgami

Wynik: $\textcolor{#0284c7}{\mathbf{84}} = \textcolor{#059669}{\mathbf{2}} \cdot \textcolor{#059669}{\mathbf{2}} \cdot \textcolor{#d97706}{\mathbf{3}} \cdot \textcolor{#e11d48}{\mathbf{7}}$ . Powtarzające się czynniki można zapisać potęgą: $84 = 2^2 \cdot 3 \cdot 7$ .

Przykłady krok po kroku

Każdy przykład to inny typ zadania z tego tematu: najpierw sposób, potem zadanie rozwiązane krok po kroku.

Przykład 1 Metoda słupkowa — jak dobierać kolejne dzielniki

602302153551

60 = 2 × 2 × 3 × 5

Rozkładając liczbę na czynniki pierwsze, piszę słupek: po lewej kolejne wyniki dzielenia, po prawej liczbę pierwszą, przez którą dzielę. Dzielniki wybieram zaczynając od najmniejszej liczby pierwszej, która dzieli daną liczbę: cyfra parzysta → dzielę przez 2; suma cyfr ÷3 → dzielę przez 3; kończy się 0 lub 5 → dzielę przez 5. Dzielę tak długo, jak liczba dzieli się przez ten sam czynnik, dopiero potem przechodzę do następnej liczby pierwszej. Kończę, gdy w lewej kolumnie zostaje 1.

Zadanie Rozłóż 60 na czynniki pierwsze.

60 jest parzyste → dzielę przez 2: 60 : 2 = 30.
30 jest parzyste → dzielę przez 2: 30 : 2 = 15.
15 jest nieparzyste; suma cyfr 6 dzieli się przez 3 → dzielę przez 3: 15 : 3 = 5.
5 jest liczbą pierwszą → dzielę przez 5: 5 : 5 = 1.
Zapisuję czynniki w kolejności: 60 = 2 × 2 × 3 × 5.

Odpowiedź: 60 = 2 × 2 × 3 × 5.

Przykład 2 Liczba trzycyfrowa z dużym czynnikiem pierwszym

2222111337371

222 = 2 × 3 × 37

Gdy dzielenie przez małe liczby pierwsze (2, 3, 5, 7) kończy się i pozostaje liczba większa od 10, sprawdzam, czy to liczba pierwsza. Próbuję dzielić przez 11, 13, 17, 19, 23… aż znajdę dzielnik albo upewnię się, że dalszych nie ma (wystarczy sprawdzić dzielniki nie większe niż pierwiastek z tej liczby). Duża liczba pierwsza zostaje wtedy ostatnim czynnikiem rozkładu.

Zadanie Rozłóż 222 na czynniki pierwsze.

222 : 2 = 111 (222 kończy się cyfrą parzystą).
111 nie dzieli się przez 2. Suma cyfr 1 + 1 + 1 = 3, więc 111 : 3 = 37.
37 nie dzieli się przez 2, 3, 5. Sprawdzam 7 × 7 = 49 — to już więcej niż 37, więc 37 jest liczbą pierwszą.
Rozkład: 222 = 2 × 3 × 37.

Odpowiedź: 222 = 2 × 3 × 37.

Przykład 3 Zapis rozkładu na czynniki z użyciem potęg

36021802902453153551

360 = 2³ × 3² × 5

Gdy ten sam czynnik pierwszy powtarza się w rozkładzie, zapisuję go jako potęgę: liczba powtórzeń to wykładnik. Czynniki w rozkładzie ustawiam w kolejności od najmniejszego. Taki zapis jest krótszy i ułatwia porównywanie rozkładów (np. przy szukaniu NWD i NWW).

Zadanie Zapisz rozkład 360 na czynniki pierwsze z użyciem potęg.

360 : 2 = 180.
180 : 2 = 90.
90 : 2 = 45.
45 : 3 = 15.
15 : 3 = 5.
5 : 5 = 1.
Czynnik 2 pojawił się 3 razy, czynnik 3 — 2 razy, czynnik 5 — 1 raz.
Rozkład: 360 = 2^{do potęgi 3} × 3^{do potęgi 2} × 5.

Odpowiedź: 360 = 2^{do potęgi 3} × 3^{do potęgi 2} × 5.

Najczęstsze błędy

Przejście do następnej liczby pierwszej, zanim liczba przestanie się dzielić przez poprzednią. Przez 2 dzielimy tak długo, jak się da ( $84 : 2 = 42$ , $42 : 2 = 21$ ), dopiero potem bierzemy 3.
Zostawienie w rozkładzie liczby złożonej, np. 4 albo 6. W rozkładzie są tylko liczby pierwsze — 4 rozpisujemy jako $2 \cdot 2$ , a 6 jako $2 \cdot 3$ .
Zakończenie dzielenia za wcześnie. Dzielimy, aż w lewej kolumnie zostanie 1 — ostatni dzielnik (np. 7 przy liczbie 84) też jest czynnikiem rozkładu.
Zły wykładnik w zapisie z potęgami. Wykładnik to liczba powtórzeń czynnika: trzy dwójki to $2^3$ , dwie trójki to $3^2$ .

Sprawdź się na zadaniach

Rozwiąż samodzielnie, a potem sprawdź odpowiedź i rozwiązanie krok po kroku.

Zadanie 1

Który zapis jest rozkładem liczby 84 na czynniki pierwsze?

Zadanie 2

Rozłóż 154 na czynniki pierwsze.

Zadanie 3

Liczbę 200 rozłożono na czynniki pierwsze. Który zapis z użyciem potęg jest poprawny?

Filmy, które pomogą

Krótkie wytłumaczenia z różnych kanałów.

Rozkład liczby na czynniki pierwsze — wprowadzenie Pi-stacja

Rozkład na czynniki pierwsze Khan Academy Po Polsku

Liczby pierwsze i złożone — rozkład na czynniki CO JA LICZĘ

Najczęstsze pytania

Jak rozłożyć liczbę na czynniki pierwsze?

Dzielimy liczbę przez najmniejszą liczbę pierwszą, która ją dzieli (2, 3, 5, 7…), wynik znów dzielimy i tak dalej, aż zostanie 1. Dzielniki zapisane w słupku po prawej stronie to czynniki rozkładu, np. $84 = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 7$ .

Co to są czynniki pierwsze liczby?

To liczby pierwsze, których iloczyn daje tę liczbę. Czynniki pierwsze liczby 60 to 2, 2, 3 i 5, bo $2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 5 = 60$ . Każda liczba złożona ma dokładnie jeden taki rozkład (z dokładnością do kolejności).

Skąd wiadomo, przez jaką liczbę dzielić?

Pomagają cechy podzielności: liczba parzysta dzieli się przez 2, liczba o sumie cyfr podzielnej przez 3 — przez 3, a liczba zakończona cyfrą 0 lub 5 — przez 5.

Co zrobić, gdy po dzieleniu zostaje duża liczba?

Sprawdzamy, czy to liczba pierwsza: próbujemy dzielić przez 2, 3, 5, 7, 11… Wystarczą dzielniki, których kwadrat nie przekracza tej liczby — dla 37 już $7 \cdot 7 = 49$ , więc 37 jest pierwsza i zostaje ostatnim czynnikiem.

Jak zapisać rozkład na czynniki z potęgami?

Powtarzający się czynnik zapisujemy jako potęgę, a liczba powtórzeń to wykładnik: $360 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 5 = 2^3 \cdot 3^2 \cdot 5$ .

Aktualizacja: 9 października 2026

Powiązane tematy

Wszystkie tematy →

Liczby złożone Działania na liczbach naturalnych Cechy podzielności Działania na liczbach naturalnych Dodawanie i odejmowanie pisemne Działania na liczbach naturalnych Dodawanie i odejmowanie w pamięci Działania na liczbach naturalnych Dzielenie z resztą Działania na liczbach naturalnych Kolejność działań Działania na liczbach naturalnych Kwadraty i sześciany Działania na liczbach naturalnych Liczebność małych zbiorów liczb Działania na liczbach naturalnych

Sprawdź, co już umiesz — zrób darmową diagnozę

Diagnoza jest bezpłatna, a na start wystarczą imię i klasa — bez adresu e-mail. To test w Compass — platformie diagnostyczno-adaptacyjnej z AI (35 pytań, zwykle 15–30 minut), który pokaże, które tematy egzaminu ósmoklasisty już umiesz, a które trzeba powtórzyć. E-mail podajesz po teście, jeśli chcesz zapisać wynik i dostać lekcje i zadania dobrane do niego.

Zrób darmową diagnozę