Liczebność zbiorów liczb — ile jest liczb danego rodzaju w przedziale
Żeby policzyć, ile liczb danego rodzaju jest w przedziale, wypisujemy je po kolei i liczymy. Dla wielokrotności jest skrót: od 1 do 30 jest 30:5=6 wielokrotności liczby 5.
Liczba wielokrotności od 1 do N n — liczba, której wielokrotności liczymy, N — koniec przedziału; bierzemy część całkowitą wyniku
N:n
Jak policzyć liczby w przedziale
Aby policzyć, ile liczb danego rodzaju jest w przedziale, wypisuję je po kolei i liczę. Dla wielokrotności pomaga też dzielenie zakresu.
Przykład: ile liczb każdego rodzaju jest od 1 do 20
Przedział od 1 do 20:
parzyste: 2,4,6,8,10,12,14,16,18,20 — razem 10
wielokrotności 5: 5,10,15,20 — razem 4
kwadraty: 1,4,9,16 — razem 4
pierwsze: 2,3,5,7,11,13,17,19 — razem 8
Ile jest wielokrotności liczby — skrót
Skrót dla wielokrotności n od 1 do N: jest ich tyle, ile wynosi N:n (część całkowita).
Przykłady krok po kroku
Każdy przykład to inny typ zadania z tego tematu: najpierw sposób, potem zadanie rozwiązane krok po kroku.
Przykład 1 Ile jest liczb parzystych w przedziale
Liczba parzysta dzieli się przez 2 bez reszty (0, 2, 4, 6, 8, 10, …). Aby policzyć liczby parzyste w przedziale od a do b, biorę pierwszą parzystą ≥ a i ostatnią parzystą ≤ b, potem liczę je w głowie. Skrót: ich liczba to (ostatnia − pierwsza) : 2 + 1.
Zadanie Ile liczb parzystych jest wśród liczb od 10 do 30?
1Pierwsza parzysta ≥ 10 to 10; ostatnia parzysta ≤ 30 to 30.
Przykład 2 Ile jest liczb nieparzystych w przedziale
Liczba nieparzysta daje resztę 1 z dzielenia przez 2 (1, 3, 5, 7, 9, 11, …). Aby policzyć liczby nieparzyste w przedziale od a do b, biorę pierwszą nieparzystą ≥ a i ostatnią nieparzystą ≤ b, potem liczę je. Skrót: ich liczba to (ostatnia − pierwsza) : 2 + 1.
Zadanie Ile liczb nieparzystych jest wśród liczb od 10 do 30?
1Pierwsza nieparzysta ≥ 10 to 11; ostatnia nieparzysta ≤ 30 to 29.
Przykład 3 Ile jest wielokrotności liczby w przedziale
Wielokrotności liczby n to n, 2n, 3n, 4n, … Aby policzyć wielokrotności n w przedziale od 1 do N, dzielę N przez n i biorę część całkowitą wyniku. Przykład: wielokrotności 5 od 1 do 30 — 30 : 5 = 6, więc jest 6 wielokrotności (5, 10, 15, 20, 25, 30). W szerszym przedziale od a do b można wypisać wielokrotności i policzyć ręcznie.
Zadanie Ile wielokrotności 6 jest wśród liczb od 1 do 50?
Kwadraty kolejnych liczb naturalnych: 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144, 169, 196, 225. Aby policzyć kwadraty w przedziale od a do b, wypisuję kolejne i zatrzymuję się tuż przed górną granicą. Liczba podniesiona do kwadratu rośnie szybko — np. w przedziale do 100 mieści się tylko 10 kwadratów (od 1 do potęgi 2 do 10 do potęgi 2).
Zadanie Ile kwadratów liczb naturalnych jest wśród liczb od 1 do 80?
Sześciany kolejnych liczb naturalnych: 1, 8, 27, 64, 125, 216, 343. Aby policzyć sześciany w przedziale od a do b, wypisuję kolejne i zatrzymuję się tuż przed górną granicą. Sześcian rośnie jeszcze szybciej niż kwadrat — np. w przedziale do 200 mieści się tylko 5 sześcianów (od 1 do potęgi 3 do 5 do potęgi 3, bo 6 do potęgi 3 = 216 > 200).
Zadanie Ile sześcianów liczb naturalnych jest wśród liczb od 1 do 200?
1Wypisuję sześciany: 1, 8, 27, 64, 125, 216, …
2216 > 200 → zatrzymuję się na 125.
3Liczę: 1, 8, 27, 64, 125 → 5 sześcianów.
Odpowiedź: 5 sześcianów.
Przykład 6 Ile jest liczb pierwszych w przedziale
Liczba pierwsza ma dokładnie dwa dzielniki: 1 i samą siebie. Liczby pierwsze do 30: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29 (10 liczb). Do 50 dochodzą jeszcze: 31, 37, 41, 43, 47 — razem 15. Aby policzyć liczby pierwsze w przedziale od a do b, przechodzę kolejne liczby i sprawdzam, czy mają tylko dwa dzielniki. Najszybciej: pamiętam listę pierwszych do 50 i wyłapuję z niej te z przedziału.
Zadanie Ile liczb pierwszych jest wśród liczb od 1 do 30?
1Wypisuję pierwsze do 30: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29.
2Sprawdzam każdą: ma dokładnie 2 dzielniki (1 i samą siebie).
Pominięcie jednej z granic przy liczeniu skrótem. Od 10 do 30 jest (30−10):2+1=11 liczb parzystych, nie 10 — liczymy i 10, i 30.
Zaokrąglanie w górę przy wielokrotnościach. Od 1 do 50 jest 8 wielokrotności 6, bo 50:6=8 reszta 2 — resztę pomijamy.
Wliczanie liczby spoza przedziału. W przedziale do 80 ostatni kwadrat to 64, bo 81>80.
Sprawdź się na zadaniach
Rozwiąż samodzielnie, a potem sprawdź odpowiedź i rozwiązanie krok po kroku.
Zadanie 1
Ile liczb parzystych jest wśród liczb od 15 do 25?
Rozwiązanie krok po kroku
1 Jaka jest najmniejsza liczba parzysta wśród liczb od 15 do 25? → 16
2 Które liczby z tego zakresu są parzyste? Wypisz je i policz, ile ich jest. → 5
Zadanie 2
Ile liczb nieparzystych jest wśród liczb od 1 do 20?
Rozwiązanie krok po kroku
1 Wypisz wszystkie liczby nieparzyste od 1 do 20: 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19. Ile ich jest? → 10
Zadanie 3
Ile wielokrotności 4 jest wśród liczb od 1 do 30?
Rozwiązanie krok po kroku
1 Wypisz kilka pierwszych wielokrotności liczby 4 większych lub równych 1: 4, 8, 12, … Jaka jest największa wielokrotność 4, która jest mniejsza lub równa 30? → 28
2 Wielokrotności 4 w przedziale od 1 do 30 to: 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28. Ile ich jest? → 7
Zadanie 4
Ile kwadratów liczb naturalnych jest wśród liczb od 1 do 50?
Rozwiązanie krok po kroku
1 Wypisz kolejne liczby naturalne i podnieś je do kwadratu, zaczynając od 1. Jaki jest największy kwadrat liczby naturalnej, który jest mniejszy lub równy 50? (Podaj tę liczbę naturalną, której kwadrat jeszcze nie przekracza 50) → 7
2 Skoro największa taka liczba to 7, to kwadraty liczb 1,2,3,4,5,6,7 mieszczą się między 1 a 50. Ile to jest kwadratów? → 7
Zadanie 5
Ile sześcianów liczb naturalnych jest wśród liczb od 1 do 400?
Rozwiązanie krok po kroku
1 Wypisuj kolejne sześciany: 13=1, 23=8, 33=27, 43=64, 53=125, 63=216. Ile wynosi 73? → 343
2 Ile wynosi 83? → 512
3 Skoro 73=343≤400, a 83=512>400, to ile sześcianów mieści się w przedziale od 1 do 400? (Policz: 13,23,33,43,53,63,73) → 7
Zadanie 6
Ile liczb pierwszych jest wśród liczb od 10 do 20?
Rozwiązanie krok po kroku
1 Wypisz wszystkie liczby od 10 do 20 i zaznacz te, które są parzyste (podzielne przez 2). Ile liczb nieparzystych (pomijając 10 i 20) pozostaje do sprawdzenia? → 5
2 Sprawdź liczby 11, 13, 15, 17, 19. Która z nich NIE jest pierwsza (ma dzielnik inny niż 1 i ona sama)? → 15
Filmy, które pomogą
Krótkie wytłumaczenia z różnych kanałów.
Wielokrotności liczbPi-stacja
Liczby parzyste i nieparzyste — wprowadzenieKhan Academy Po Polsku
Liczby parzyste i nieparzysteJustyna Szymczak
Najczęstsze pytania
Ile jest liczb parzystych od 1 do 100?
50. Pierwsza parzysta to 2, ostatnia 100, więc jest ich (100−2):2+1=49+1=50.
Ile jest liczb pierwszych do 30?
10: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29. Od 1 do 20 jest ich 8, a do 50 dochodzą jeszcze 31, 37, 41, 43, 47 — razem 15.
Jak policzyć wielokrotności liczby w przedziale od 1 do danej liczby?
Dzielimy koniec przedziału przez tę liczbę i bierzemy część całkowitą wyniku. Wielokrotności 7 od 1 do 100 jest 14, bo 100:7=14 reszta 2.
Ile jest kwadratów liczb naturalnych do 100?
10 — od 12=1 do 102=100. Sześcianów do 200 jest tylko 5: 1, 8, 27, 64, 125, bo 63=216 to już więcej niż 200.
Diagnoza jest bezpłatna, a na start wystarczą imię i klasa — bez adresu e-mail. To test w Compass —
platformie diagnostyczno-adaptacyjnej z AI (35 pytań, zwykle 15–30 minut), który pokaże, które
tematy egzaminu ósmoklasisty już umiesz, a które trzeba powtórzyć. E-mail podajesz po teście, jeśli chcesz zapisać wynik
i dostać lekcje i zadania dobrane do niego.
Zobacz na planecie →