Przejdź do treści
Poznaj Compass

Wielokrotności liczb, kwadraty, sześciany, liczby pierwsze i złożone

Wielokrotność liczby to wynik mnożenia tej liczby przez liczbę naturalną, np. wielokrotności 6 to 6, 12, 18, 24, … Liczba pierwsza ma dokładnie dwa dzielniki: 1 i samą siebie, a liczba złożona — więcej niż dwa.

Działania na liczbach naturalnych · egzamin ósmoklasisty Klasa 4 → Zobacz na planecie →

Wielokrotność, liczba pierwsza i złożona — definicje

Wielokrotność liczby to wynik mnożenia tej liczby przez liczbę naturalną. Kwadrat to n⋅nn \cdot n, sześcian to n⋅n⋅nn \cdot n \cdot n. Liczba pierwsza ma dokładnie dwa dzielniki: 11 i siebie. Liczba złożona ma więcej niż dwa dzielniki.

Przykład: wielokrotności, kwadrat i sześcian liczby 6

Dla 6\textcolor{#0284c7}{\mathbf{6}}:

  • wielokrotności: 6,12,18,24,30,36,…\textcolor{#0284c7}{\mathbf{6}}, \textcolor{#059669}{\mathbf{12}}, \textcolor{#d97706}{\mathbf{18}}, \textcolor{#e11d48}{\mathbf{24}}, 30, 36, \ldots
  • kwadrat: 36\textcolor{#4f46e5}{\mathbf{36}} — bo 6⋅6=366 \cdot 6 = 36
  • sześcian: 216\textcolor{#4f46e5}{\mathbf{216}} — bo 6⋅6⋅6=2166 \cdot 6 \cdot 6 = 216
  • 66 to liczba złożona (dzielniki: 1,2,3,61, 2, 3, 6). 77 to liczba pierwsza (dzielniki: 1,71, 7).

Liczby 00 i 11 nie są ani pierwsze, ani złożone.

Przykłady krok po kroku

Każdy przykład to inny typ zadania z tego tematu: najpierw sposób, potem zadanie rozwiązane krok po kroku.

Przykład 1 Czy liczba jest wielokrotnością danej liczby

Wielokrotność liczby n to każda liczba postaci n × k, gdzie k jest liczbą naturalną (1, 2, 3, …). Wielokrotności liczby 4 to: 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, … Aby sprawdzić, czy liczba a jest wielokrotnością n, dzielę a przez n: jeśli reszta jest 0, to a jest wielokrotnością n. Każda liczba jest wielokrotnością samej siebie i wielokrotnością 1.

Zadanie Która z liczb 18, 22, 28, 34 jest wielokrotnością 7?

  1. Sprawdzam każdą liczbę: dzielę przez 7.
  2. 18 : 7 = 2 reszta 4 → nie.
  3. 22 : 7 = 3 reszta 1 → nie.
  4. 28 : 7 = 4 reszta 0 → tak.
  5. 34 : 7 = 4 reszta 6 → nie. Pasuje 28.

Odpowiedź: 28 jest wielokrotnością 7.

Przykład 2 Rozpoznawanie kwadratów liczb naturalnych

Kwadrat liczby n to n × n, zapisywany jako n do potęgi 2. Kwadraty kolejnych liczb naturalnych: 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144. Aby rozpoznać, czy liczba jest kwadratem, szukam takiej liczby, że pomnożona przez samą siebie daje tę liczbę. Wystarczy pamiętać listę kwadratów do 144.

Zadanie Która z liczb 18, 25, 50, 64 jest kwadratem liczby naturalnej?

  1. Lista kwadratów: 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100...
  2. 18 — nie ma na liście → nie jest kwadratem.
  3. 25 = 5 × 5 = 5 do potęgi 2 → jest kwadratem.
  4. 50 — nie ma na liście → nie jest kwadratem.
  5. 64 = 8 × 8 = 8 do potęgi 2 → jest kwadratem.

Odpowiedź: 25 i 64 są kwadratami (25 = 5 do potęgi 2, 64 = 8 do potęgi 2). 18 i 50 nie są.

Przykład 3 Rozpoznawanie sześcianów liczb naturalnych

Sześcian liczby n to n × n × n, zapisywany jako n do potęgi 3. Sześciany kolejnych liczb naturalnych: 1, 8, 27, 64, 125, 216, 343. Aby rozpoznać, czy liczba jest sześcianem, szukam takiej liczby, że pomnożona trzykrotnie przez samą siebie daje tę liczbę. Wystarczy pamiętać listę sześcianów do 343.

Zadanie Która z liczb 27, 36, 50, 125 jest sześcianem liczby naturalnej?

  1. Lista sześcianów: 1, 8, 27, 64, 125, 216, 343.
  2. 27 = 3 × 3 × 3 = 3 do potęgi 3 → sześcian.
  3. 36 — nie ma na liście → nie sześcian (to kwadrat 6 do potęgi 2).
  4. 50 — nie ma → nie sześcian.
  5. 125 = 5 × 5 × 5 = 5 do potęgi 3 → sześcian.

Odpowiedź: 27 i 125 są sześcianami (27 = 3 do potęgi 3, 125 = 5 do potęgi 3). 36 i 50 nie są.

Przykład 4 Czy liczba jest pierwsza — liczby do 30

Liczba pierwsza ma dokładnie dwa dzielniki: 1 i samą siebie. Lista liczb pierwszych do 30: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29. Aby sprawdzić, czy liczba n ≤ 30 jest pierwsza, dzielę ją kolejno przez 2, 3, 5 (i 7 dla liczb ≥ 49). Jeśli żaden z tych dzielników nie pasuje — n jest pierwsza. Uwaga: 2 jest jedyną parzystą liczbą pierwszą.

Zadanie Czy 23 jest liczbą pierwszą?

  1. 23 jest nieparzyste → nie dzieli się przez 2.
  2. Suma cyfr 23: 2+3=5 → nie dzieli się przez 3.
  3. Ostatnia cyfra 3 → nie dzieli się przez 5.
  4. Sprawdzony dzielnik 7: 7×3=21, 7×4=28 → 7 nie dzieli 23.
  5. Żaden mały dzielnik nie pasuje → 23 jest pierwsza.

Odpowiedź: Tak, 23 jest liczbą pierwszą.

Przykład 5 Jak pokazać, że liczba jest złożona

Liczba złożona ma więcej niż dwa dzielniki — oprócz 1 i samej siebie ma jeszcze co najmniej jeden. Aby pokazać, że liczba do 30 jest złożona, wystarczy wskazać jeden dzielnik różny od 1 i od niej samej. Pomagają cechy podzielności: cyfra parzysta → ÷2; suma cyfr ÷3 → ÷3; ostatnia 0 lub 5 → ÷5. Liczby złożone do 30: 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18, 20, 21, 22, 24, 25, 26, 27, 28, 30.

Zadanie Pokaż, że 21 jest liczbą złożoną.

  1. Sprawdzam cechy podzielności: 21 jest nieparzyste → ÷2 odpada.
  2. Suma cyfr 21: 2+1=3 → dzieli się przez 3.
  3. 21 : 3 = 7 → znalazłem dzielnik 3 (i 7), różny od 1 i od 21.
  4. 21 ma więcej niż dwa dzielniki → jest złożona. Zapis: 21 = 3 × 7.

Odpowiedź: Tak, 21 jest złożona — 21 = 3 × 7.

Najczęstsze błędy

  • Uznanie 1 za liczbę pierwszą. Liczby 0 i 1 nie są ani pierwsze, ani złożone.
  • Uznanie każdej liczby nieparzystej za pierwszą. 21 jest nieparzysta, ale 21=3×721 = 3 \times 7, więc jest złożona.
  • Pominięcie liczby 2 wśród liczb pierwszych. 2 jest liczbą pierwszą — jedyną parzystą.

Sprawdź się na zadaniach

Rozwiąż samodzielnie, a potem sprawdź odpowiedź i rozwiązanie krok po kroku.

Zadanie 1

Która z liczb jest wielokrotnością 9?

Zadanie 2

Która z liczb jest kwadratem liczby naturalnej?

Zadanie 3

Która z liczb jest sześcianem liczby naturalnej?

Zadanie 4

Która z liczb jest liczbą pierwszą?

Zadanie 5

Która z liczb jest liczbą złożoną?

Filmy, które pomogą

Krótkie wytłumaczenia z różnych kanałów.

Wielokrotności liczb Pi-stacja
Znajdowanie dzielników i wielokrotności Khan Academy Po Polsku
Własności liczb naturalnych — wielokrotności MatWujek

Najczęstsze pytania

Co to jest wielokrotność liczby?

Wynik mnożenia tej liczby przez liczbę naturalną 1, 2, 3, … Wielokrotności 4 to 4, 8, 12, 16, 20, … Każda liczba jest wielokrotnością samej siebie i wielokrotnością 1.

Jak sprawdzić, czy liczba jest wielokrotnością innej liczby?

Dzielimy ją przez tę liczbę. Jeśli reszta wynosi 0, jest wielokrotnością: 45 jest wielokrotnością 9, bo 45:9=545 : 9 = 5, a 50 nie jest, bo 50:9=550 : 9 = 5 reszta 5.

Jakie są liczby pierwsze do 30?

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29. Każda z nich ma dokładnie dwa dzielniki: 1 i samą siebie.

Czym różni się liczba pierwsza od złożonej?

Liczba pierwsza ma dokładnie dwa dzielniki, np. 7 (dzielniki 1 i 7). Liczba złożona ma więcej niż dwa, np. 6 (dzielniki 1, 2, 3, 6).

Czy 1 jest liczbą pierwszą?

Nie. Liczby 0 i 1 nie są ani pierwsze, ani złożone.

Aktualizacja:

Powiązane tematy

Wszystkie tematy →
Cechy podzielności Działania na liczbach naturalnych Dodawanie i odejmowanie pisemne Działania na liczbach naturalnych Dodawanie i odejmowanie w pamięci Działania na liczbach naturalnych Dzielenie z resztą Działania na liczbach naturalnych Kolejność działań Działania na liczbach naturalnych Kwadraty i sześciany Działania na liczbach naturalnych Liczebność małych zbiorów liczb Działania na liczbach naturalnych Mnożenie i dzielenie Działania na liczbach naturalnych

Sprawdź, co już umiesz — zrób darmową diagnozę

Diagnoza jest bezpłatna, a na start wystarczą imię i klasa — bez adresu e-mail. To test w Compass — platformie diagnostyczno-adaptacyjnej z AI (35 pytań, zwykle 15–30 minut), który pokaże, które tematy egzaminu ósmoklasisty już umiesz, a które trzeba powtórzyć. E-mail podajesz po teście, jeśli chcesz zapisać wynik i dostać lekcje i zadania dobrane do niego.

Zrób darmową diagnozę