Równania po przekształceniach — nawiasy, wyrazy podobne i ułamki

Q: Jak pozbyć się ułamków w równaniu?

Mnożymy obie strony równania przez mianownik. Np. x/3 + 2 = 5 po pomnożeniu przez 3 daje x + 6 = 15, czyli x = 9.

Równanie z nawiasami, wyrazami podobnymi lub ułamkami najpierw porządkujemy: opuszczamy nawiasy, redukujemy wyrazy podobne, mnożymy obie strony przez mianownik. Gdy otrzymamy postać $ax + b = c$ , rozwiązujemy jak zwykłe równanie.

Równania z jedną niewiadomą · egzamin ósmoklasisty Klasa 7 → Zobacz na planecie →

Wzory w skrócie

Opuszczanie nawiasu (mnożenie) liczbę przed nawiasem mnożymy przez każdy wyraz w nawiasie: $a(b + c) = ab + ac$
Nawias ze znakiem minus minus przed nawiasem zmienia znak każdego wyrazu w środku: $-(a + b) = -a - b$
Postać, do której sprowadzamy równanie $x$ — niewiadoma, $a$ , $b$ , $c$ — liczby: $ax + b = c$

Co to jest równanie pierwszego stopnia

Równanie pierwszego stopnia to równanie, w którym niewiadoma występuje tylko w pierwszej potędze. Niewiadomą, którą wcześniej zapisywaliśmy okienkiem, teraz oznaczamy literą $x$ .

Czasem równanie wygląda na trudne, bo po którejś stronie znaku „ $=$ " mamy nawiasy, wyrazy podobne do uproszczenia albo ułamki. Najpierw przekształcam wyrażenia tak, żeby otrzymać równanie postaci $ax + b = c$ , a potem rozwiązuję je jak zwykłe równanie pierwszego stopnia.

Nawiasy, minus przed nawiasem, ułamki — jak uprościć równanie

Cztery przekształcenia, które porządkują równanie:

Redukcja wyrazów podobnych — sumuję wszystkie $x$ -y i wszystkie liczby po jednej stronie.
Opuszczanie nawiasów (mnożenie) — $\textcolor{#0284c7}{a}(b + c) = \textcolor{#0284c7}{a}b + \textcolor{#0284c7}{a}c$ .
Nawias ze znakiem minus — $-(a + b) = -a - b$ ; minus zmienia znak każdego wyrazu w środku.
Pozbywanie się ułamków — mnożę obie strony przez wspólny mianownik.

Przykład: równanie z nawiasem

Rozwiązuję $\textcolor{#0284c7}{2}(x + \textcolor{#059669}{3}) = \textcolor{#d97706}{12}$ .
Opuszczam nawias: $\textcolor{#0284c7}{2}x + \textcolor{#0284c7}{2} \cdot \textcolor{#059669}{3} = \textcolor{#d97706}{12}$ , czyli $2x + 6 = 12$ .
Odejmuję $6$ od obu stron: $2x = 6$ .
Dzielę obie strony przez $2$ : $x = \textcolor{#4f46e5}{\mathbf{3}}$ .

Przykłady krok po kroku

Każdy przykład to inny typ zadania z tego tematu: najpierw sposób, potem zadanie rozwiązane krok po kroku.

Przykład 1 Równanie z wyrazami podobnymi

Wyrazy podobne to wyrazy z tą samą literą (np. 4x i 2x) lub same liczby. Po jednej stronie równania sumuję wszystkie wyrazy z x i osobno wszystkie liczby. Dopiero potem rozwiązuję równanie jak pierwszego stopnia.

Zadanie Rozwiąż równanie 4x + 3 + 2x = 21.

Po lewej stronie są dwa wyrazy z x: 4x i 2x. Sumuję je: 4x + 2x = 6x.
Po redukcji równanie ma postać 6x + 3 = 21.
Odejmuję 3 od obu stron: 6x = 18.
Dzielę obie strony przez 6: x = 3.
Rozwiązaniem jest x = 3.

Odpowiedź: x = 3

Przykład 2 Równanie z nawiasem — mnożenie przez liczbę

Gdy przed nawiasem stoi liczba (lub liczba ze znakiem mnożenia), mnożę ją przez każdy wyraz w nawiasie: a(b + c) = a·b + a·c. Po opuszczeniu nawiasu równanie staje się równaniem postaci ax + b = c.

Zadanie Rozwiąż równanie 3(x + 4) = 21.

Przed nawiasem jest 3. Mnożę 3 przez każdy wyraz w nawiasie: 3·x + 3·4 = 3x + 12.
Równanie bez nawiasu: 3x + 12 = 21.
Odejmuję 12 od obu stron: 3x = 9.
Dzielę obie strony przez 3: x = 3.
Rozwiązaniem jest x = 3.

Odpowiedź: x = 3

Przykład 3 Równanie z minusem przed nawiasem

Gdy przed nawiasem stoi znak minus, zmieniam znak każdego wyrazu w nawiasie podczas jego opuszczania: −(a + b) = −a − b, −(a − b) = −a + b. To częsta pułapka — łatwo zapomnieć zmienić znak drugiego wyrazu.

Zadanie Rozwiąż równanie 5 − (x + 2) = 1.

Przed nawiasem jest minus. Opuszczając nawias zmieniam znak każdego wyrazu: −(x + 2) = −x − 2.
Lewa strona bez nawiasu: 5 − x − 2 = 3 − x.
Równanie ma postać 3 − x = 1.
Dodaję x do obu stron, żeby zniknęło ze znaku minus: 3 = 1 + x.
Odejmuję 1 od obu stron: 2 = x. Rozwiązaniem jest x = 2.

Odpowiedź: x = 2

Przykład 4 Równanie z ułamkiem

Gdy w równaniu jest ułamek z x w liczniku (np. x/3 lub (x+1)/2), mnożę obie strony równania przez mianownik, żeby pozbyć się ułamka. Po pomnożeniu zostaje równanie bez ułamków, które rozwiązuję jak zwykle.

Zadanie Rozwiąż równanie x/3 + 2 = 5.

W równaniu jest ułamek x/3 z mianownikiem 3. Mnożę obie strony równania przez 3.
3 · (x/3 + 2) = 3 · 5. Po lewej rozdzielam mnożenie: 3 · x/3 + 3 · 2 = x + 6. Po prawej: 15.
Otrzymuję równanie bez ułamków: x + 6 = 15.
Odejmuję 6 od obu stron: x = 9.
Rozwiązaniem jest x = 9.

Odpowiedź: x = 9

Najczęstsze błędy

Zmiana znaku tylko pierwszego wyrazu po minusie: $-(x + 2) = -x - 2$ , nie $-x + 2$ . Minus przed nawiasem zmienia znak każdego wyrazu w środku.
Pomnożenie przez liczbę przed nawiasem tylko pierwszego wyrazu: $3(x + 4) = 3x + 12$ , nie $3x + 4$ .
Pomnożenie przez mianownik tylko ułamka. W $\frac{x}{3} + 2 = 5$ mnożymy przez 3 obie strony i każdy wyraz: $x + 6 = 15$ .

Sprawdź się na zadaniach

Rozwiąż samodzielnie, a potem sprawdź odpowiedź i rozwiązanie krok po kroku.

Zadanie 1

Po redukcji wyrazów podobnych po lewej stronie równania 5x + 4 + 3x = 28 otrzymasz równanie:

Zadanie 2

Po opuszczeniu nawiasu wyrażenie 4(x + 5) zapiszesz jako:

Zadanie 3

Po opuszczeniu nawiasu wyrażenie 10 − (x + 3) zapiszesz jako:

Zadanie 4

Aby pozbyć się ułamka w równaniu x/4 + 1 = 3, mnożysz obie strony przez:

Zadanie egzaminacyjne arkusz CKE · zadanie 8

Dane jest równanie

$5 + \frac{1 - x}{2} = 2(x - 1)$

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Rozwiązaniem tego równania jest liczba

Filmy, które pomogą

Krótkie wytłumaczenia z różnych kanałów.

Rozwiązywanie równań — wstęp, klasa 7 Angelika Graf

Rozwiązywanie równań — klasa 7 Zday

Najczęstsze pytania

Jak rozwiązywać równania z nawiasami?

Najpierw opuszczamy nawias, mnożąc liczbę przed nim przez każdy wyraz w środku, potem rozwiązujemy jak zwykle. Np. $3(x + 4) = 21$ daje $3x + 12 = 21$ , $3x = 9$ , $x = 3$ .

Jak rozwiązać równanie z minusem przed nawiasem?

Opuszczając nawias, zmieniamy znak każdego wyrazu w środku: $-(a + b) = -a - b$ . Np. $5 - (x + 2) = 1$ to $3 - x = 1$ , więc $x = 2$ .

Jak pozbyć się ułamków w równaniu?

Mnożymy obie strony równania przez mianownik. Np. $\frac{x}{3} + 2 = 5$ po pomnożeniu przez 3 daje $x + 6 = 15$ , czyli $x = 9$ .

Co to jest równanie pierwszego stopnia?

Równanie, w którym niewiadoma występuje tylko w pierwszej potędze, np. $2(x + 3) = 12$ . Po przekształceniach sprowadzamy je do postaci $ax + b = c$ .

Aktualizacja: 9 października 2026

Powiązane tematy

Wszystkie tematy →

Przekształcanie wzorów Równania z jedną niewiadomą Równania pierwszego stopnia Równania z jedną niewiadomą Zadania tekstowe równania Równania z jedną niewiadomą Sprawdzanie rozwiązania równania Równania z jedną niewiadomą Długość odcinka we współrzędnych Oś liczbowa. Układ współrzędnych na płaszczyźnie Dodawanie i odejmowanie sum algebraicznych Przekształcanie wyrażeń algebraicznych. Sumy algebraiczne i działania na nich Liczba z danego procentu Obliczenia procentowe Mnożenie i dzielenie pierwiastków Pierwiastki

Sprawdź, co już umiesz — zrób darmową diagnozę

Diagnoza jest bezpłatna, a na start wystarczą imię i klasa — bez adresu e-mail. To test w Compass — platformie diagnostyczno-adaptacyjnej z AI (35 pytań, zwykle 15–30 minut), który pokaże, które tematy egzaminu ósmoklasisty już umiesz, a które trzeba powtórzyć. E-mail podajesz po teście, jeśli chcesz zapisać wynik i dostać lekcje i zadania dobrane do niego.

Zrób darmową diagnozę